Métodos y Fórmulas 

 Métodos y fórmulas para calcular áreas de figuras irregulares

El cálculo del área es una habilidad fundamental en matemáticas, arquitectura, ingeniería y ciencias naturales. Sin embargo, mientras que las fórmulas para figuras geométricas regulares (como triángulos, rectángulos o círculos) son conocidas y directas, las figuras irregulares presentan un reto mayor debido a su falta de simetría o forma definida. Afortunadamente, existen diversos métodos para calcular o estimar su área con distintos niveles de precisión.

1. División en figuras regulares

Consiste en descomponer la figura irregular en varias figuras geométricas regulares conocidas, como triángulos, rectángulos, trapecios, etc. Luego se calcula el área de cada figura por separado y se suman todas para obtener el área total.

Ventajas

* Método fácil de aplicar manualmente.

* Muy útil en figuras compuestas dibujadas en papel.

Ejemplo

Una figura en forma de "L" puede dividirse en dos rectángulos. Si uno mide 4 × 3 y el otro 2 × 5:

A=(4×3)+(2×5)=12+10=22 unidades cuadradas

2. Método de la cuadrícula

Coloca la figura sobre una cuadrícula (como en papel milimetrado) y cuenta los cuadros completamente dentro de la figura y los cuadros parcialmente cubiertos.

Ventajas

* Método visual.

* Útil para estimaciones rápidas.

Desventajas

* Menos preciso si los cuadros son muy grandes o hay muchos bordes curvos.

A≈(cuadros completos) + 1/2 (cuadros parciales)

3. Fórmula del polígono (fórmula de Gauss o del zapatero)

Este método sirve cuando conocemos las coordenadas de los vértices de una figura poligonal irregular (por ejemplo, en un plano cartesiano).

Ventajas

* Preciso y útil para programación, topografía o diseño asistido por computadora.

4. Integración (uso de cálculo diferencial e integral)

Cuando la figura está delimitada por una función matemática (como una curva), se puede usar la integral definida para calcular el área bajo la curva entre dos puntos.

Aplicaciones

* Física (cálculo de trabajo o distancia recorrida).

* Ingeniería y diseño de objetos con curvas.

Ventajas

* Método exacto para curvas.

Desventajas

* Requiere conocimientos de cálculo.

A=∫ba f(x)dx

Aportaciones al Cálculo de Áreas entre Dos Curvas

Augustin Louis Cauchy fue un matemático francés que vivió de 1789 a 1857

Su aporte al cálculo de áreas entre dos curvas no fue precisamente directo (mediante algún teorema o fórmula específica) sino que proveyó algunos de los estudios requeridos para explicar conceptos como las integrales definidas, las funciones simétricas, la construcción de series y la convergencia de funciones complejas.

Cauchy construyó la integral definida y proporcionó un método para medir la región asociada a una función real no negativa y continua en un intervalo compacto.

"Para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función positiva definida en [a, b] se divide el intervalo en un cierto número de subintervalos, por ejemplo 'n', designando el Δxk la longitud del k-ésimo intervalo, se consideran las sumas de la forma:

En donde tk designa un cierto punto del intervalo k-ésimo Δxk."

Una suma de este tipo es una aproximación mediante rectángulos del área a calcular.

Georg Friedrich Bernhard Riemann, matemático que vivió de 1826 a 1866 estableció métodos más relevantes para el ámbito del cálculo de áreas entre dos curvas.

Fue durante su proceso de habilitación (requisito para impartir clases en Alemania) que trabajó en las condiciones para que una función tenga una integral.

En las sumas de Riemann se aproxima el área bajo la curva de una función, ya sea por la derecha o por la izquierda:

Al observar que las integrales definidas representan el área bajo la curva de una función y observar que las sumas de Riemann aproximan el área bajo la curva, se pudo establecer que el límite al infinito de las sumas de Riemann es igual a la integral definida

Si consideramos una región S ubicada entre dos curvas y=f(x) y y=g(x) y entre las rectas verticales x=a y x=b donde f y g son funciones continuas y f(x) es mayor o igual a g(x) para toda x en [a,b]. Se puede aplicar la suma de Riemann para aproximar el área S.

También Riemann estableció varios criterios como propiedades básicas de la integral que no desarrollamos en este trabajo, pero se pueden encontrar en el documento La integral de Riemann citado en las referencias.

Así mismo se reconoce la existencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pero al ser estas un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que se utilizan para determinar si una función compleja es analítica, no fueron desarrolladas en este trabajo.

Conclusiones y reflexiones:

Canales Baeza Francisco Josué: Calcular áreas resulta útil para muchas disciplinas, por ello considero que conocer los distintos métodos que han surgido con el tiempo para encontrar áreas de figuras regulares e irregulares es beneficioso para cualquiera, incluso aquellos que no estudian el cálculo como tal. Más allá de eso, para las personas que vamos a enfocarnos en alguna carrera que utilice las aplicaciones del área de figuras en la realidad nos conviene aprender a utilizar estos métodos y familiarizarnos con ellos para poder determinar el momento adecuado para utilizar alguno al resolver problemas.

Regules González Aline Marcela: Aprender acerca de como calcular el área de diversas figuras a sido una constante dentro de las matematicas por lo que su estudio ha requerido de diversos procesos que si bien han sido perfeccionados con el tiempo se sabe que pueden no ser 100% confiables ya que siempre habrá un pequeño espacio que nose tomara en cuenta al momento de realizar los diversos cálculos con los diversos métodos existentes lo que aumenta la imprtancia de conocer cada uno de estos métodos.

Romero de la Cruz Sammy Lizbeth: Calcular el área de figuras irregulares es una habilidad muy útil en la vida diaria. Nos ayuda, por ejemplo, a saber cuánta pintura se necesita para una pared con formas extrañas, cuánto material comprar para un jardín con diseño irregular o cómo distribuir objetos en un espacio. Aplicar estos métodos nos permite ahorrar tiempo, dinero y recursos, además de tomar decisiones más precisas en tareas cotidianas o proyectos personales. Es una herramienta práctica que va más allá de las matemáticas y se convierte en parte de nuestra vida real.

Vega Gómez Emiliano: Los humanos somos la prueba de que podemos encontrar una solución a un problema y a veces esa solución se encuentra en los lugares más inesperados, aprendimos cómo calcular el área de una función en base a metodos como las integrales definidas y con esa misma función nos permitió describir modelos más complejos como áreas entre una curva y una recta a traves de variables no constantes, así que podemos modificar cuanto queramos algo para transformarlo en otro modelo y hayas así la esperada respuesta. 

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